Horn clause for SemimarII

９．５ホーン節と導出原理

前回、述語論理では、述語を導入する事によって、命題論理よりも広い世界が表現できる事を知った。述語論理の推論では、「公理系」と「推論規則」のもとで「正しい推論を行なう手続き」が知られている。しかしこのような古典的な方法は、計算機でプログラムを実行することによっては実現しがたい。そこで、今回学ぶような、「ホーン節」という形式を持った整式に「導出原理」と言う手続きを定義して、「正しい推論を行なう手続き」が計算機上のプログラムによって実現出来るようにしよう。

ホーン節の定義

【定義】定数論理式(リテラル)

原子式、又はその否定を「定数論理式(リテラル)」と言う。原子式 P を「正の定数論理式」、その否定￢P を「負の定数論理式」と呼ぶ。

【定義】節

「定数論理式(リテラル)」を「選言(又は「∨」)」論理結合子によって結合した整式を「節」と言う。

【例】P∨Q∨R∨S

【定義】ホーン節

上記で定義された節の中に、「正の定数論理式(リテラル)」が高々１つしか含まれていない節のことを「ホーン節」と言う。

【例】￢P1∨￢P2...∨￢Pn∨Q

それでは、「正しい推論を行なう手続き」が計算機上のプログラムによって実現出来るようにするために、「ホーン節」が何故重要かを説明しましょう。

ホーン節になっている整式 と、論理結合子「含意(ならば「⇒」)」を含む整式とは、それぞれの「真偽値」が等しくなる。

**ホーン節と、「含意(⇒)」を含む整式の真偽値**
￢P	Q	￢P∨ Q	P ⇒ Q
T	T	T	T
T	F	T	T
F	T	T	T
F	F	F	F

従って、もう少し一般的なホーン節

￢P1∨￢P2...∨￢Pn∨Q の真偽値は、(P1∧P2...∧Pn)⇒Q の真偽値と等しくなることもすぐ分かる。何故なら、次の真偽値表が示すように、

￢P1∨￢P2と、￢(P1∧P2)の真偽値の同等性
￢P1	￢P2	￢P1∨￢P2	P1∧P2	￢(P1∧P2)
T	T	T	F	T
T	F	T	F	T
F	T	T	F	T
F	F	F	`T`	F

￢P

1∨￢P2...∨￢Pn

の真偽値は、

￢(P

1∧P2...∧Pn)

の真偽値と等しいからである。

ホーン節￢P1∨￢P2...∨￢Pn∨Q は、￢(P1∧P2...∧Pn)∨Q　と同値となる。この整式は、前提部が「連言(又は「∧」)」で結合された「含意(又は「⇒」)」
(P1∧P2...∧Pn)⇒Q を表していると考える事が出来る。
従って、含意記号を「もし～ならば」と言う意味に解釈すれば、

ホーン節
￢P1∨￢P2...∨￢Pn∨Q
は、　(P1∧P2...∧Pn)⇒Q
　　「もしP1かつP2かつ、、、かつPnならば、Q である」
と言う意味に解釈できる。

このような解釈が出来れば、ホーン節は、身の回りで発生する問題を解決するための「通常の推論規則の表現形式」としては非常に便利且つ有効である事が分かる。ホーン節は、このような意味に解釈する事を可能とする整式なのである。
（※注）以下のものもホーン節である
　　　　1) 矛盾￢P1∨￢P2...∨￢Pn
　　　　2) 主張　 Q
3) 含意　￢P1∨￢P2...∨￢Pn∨Q

ここで大事な事は、

対象領域に対する知識は、そこで成立している事実(真となる主張)と、事実の間の関係についての規則(真となる含意）によって表現される

と言う事であり、

このような内容の表現形式が、ホーン節である

と言う事である。

次に、ホーン節で表現された知識を用いた推論の方法として「導出原理」について述べる。「導出原理」の基本的な考え方は「背理法」である。すなわち、「結論」の否定を「前提」に付け加えて矛盾を導けば、「結論」が成立すると言うものである。

「導出原理」に従えば、

「述語に変数を含まないもの」の「否定」を「前提」に付け加えて、矛盾を導く事が出来れば、その「述語」が「真」であり、また、矛盾を導けなければ、その「述語」が「偽」である。

「述語に変数を代入したもの」の「否定」を「前提」に付け加えて、矛盾を導く事が出来れば、その「変数への代入がその述語」を「真」とする「代入」と言うことになる。

【例題】ちさとのデート

事実:
1) Male(Noriyuki)
2) Male(Eisaku)
3) Male(Kouji)
4) Handsome(Noriyuki)
5) Handsome(Eisaku)
6) Strong(Kouji)
7) Tall(Eisaku)
8) Tall(Isako)
規則:
9) Male(x)∧Tall(x)∧ Handsome(x)⇒ Date(x)

↓

￢Male(x)∨￢Tall(x)∨￢Handsome(x)∨ Date(x)

10) Male(x)∧ Strong(x)⇒ Date(x)

↓

￢Male(x)∨￢Strong(x)∨ Date(x)
導出原理:
結論の否定を準備する。
11)￢Date(x) add the negation of the goal.

9) 或は、10)の規則に、事実を適用していく（事実を「連言（∧）」として加えていく）。
12) 2) ∧ 9)
x ← Eisaku (栄作をxに代入)
{ ￢Male(Eisaku)∨￢Tall(Eisaku)∨￢Handsome(Eisaku)∨Date(Eisaku) } ∧ {Male(Eisaku)}

↓

{ ￢Tall(Eisaku)∨￢Handsome(Eisaku)∨Date(Eisaku) }
13) 7) ∧ 12)
{ ￢Tall(Eisaku)∨￢Handsome(Eisaku)∨Date(Eisaku) } ∧ {Tall(Eisaku)}

↓

{ ￢Handsome(Eisaku)∨Date(Eisaku) }
14) 5) ∧ 13)
{ ￢Handsome(Eisaku)∨Date(Eisaku) } ∧ (Handsome(Eisaku))

↓
{Date(Eisaku)}

15) 11) ∧ 14)
{Date(Eisaku) } ∧ {￢Date(x)}

↓ {}

which signifies contradiction.

結論:
The solution is Date(Eisaku).

The procedure just described above makes the basis of the inference of the PROLOG language:

the procedure such that one describes the facts and rules with the Horn clauses(ホーン節) and one answers the question following the resolution principle(導出原理) with the use of the facts and rules.

the PROLOG language:

the set of Horn clauses.

The execution of the PROLOG program corresponds to the proof of the conclusion.

The PROLOG program doesn't describe the procedures for the problem solving but describes only the problem-solving strategy. The execution itself is submitted to the computer.

the description in PROLOG

￢P1 ∨ ￢P2 ∨ ... ∨￢Pn ∨ Q

---> Q :- P1, P2,..., Pn.

The query in PROLOG would be

?- Date(X).

教科書第12章「意思決定支援システムと専門家システムの統合」

Hybrid of the DSS and the Expert System.

【例題】ESSの構築例(保養地[リゾート]の決定)

<<expert system: sking resort>>
事実:
<predicates(or literal)>:
record(w, x, y, z)

↓

record(resort_type, maxprice, minage, location)
<the desctiption of facts> :
<connecting database>:
/* *database* */
record(beach, 800, 12, sonora_bay).
record(beach, 198, 5, don_miguel).
record(beach, 210, 0, roussalka).
record(ski, 400, 5, meribel).
record(ski, 500, 12, anzerre).
record(ski, 230, 12, tignes).
record(mountain, 650, 12, st_moritz).
record(mountain, 400, 5, chamonix).
record(mountain, 250, 0, pampadour).
/* *** */

規則:
<the desctiption of rules> :
record(TResortType, TMaxPrice, TMinAge, Location)∧
(ResortType = TResortType)∧(MaxPrice >= TMaxPrice)∧(MinAge >= TMinAge)
==>expert(ResortType, MaxPrice, MinAge, Location)

↓

expert(ResortType, MaxPrice, MinAge, Location):-
record(TResortType, TMaxPrice, TMinAge, Location),
ResortType = TResortType,
MaxPrice >= TMaxPrice,
MinAge >= TMinAge.

<<the expert program in PROLOG>>

/* *database* */
record(beach, 800, 12, sonora_bay).
record(beach, 198, 5, don_miguel).
record(beach, 210, 0, roussalka).
record(ski, 400, 5, meribel).
record(ski, 500, 12, anzerre).
record(ski, 230, 12, tignes).
record(mountain, 650, 12, st_moritz).
record(mountain, 400, 5, chamonix).
record(mountain, 250, 0, pampadour).
/* *** */
run:-
write("Resort Type (beach / ski / mountain) ? : "),
read(ResortType),
write("Max Price ? : "),nl,
read(MaxPrice),
write("Min Age ? : "),nl,
read(MinAge),
expert(ResortType, MaxPrice, MinAge, Location),
write("We advise you to go to "),
write(Location),
nl.

run:-
write("Sorry, we cannot help you. "), nl.

expert(ResortType, MaxPrice, MinAge, Location):-
record(TResortType, TMaxPrice, TMinAge, Location),
ResortType = TResortType,
MaxPrice >= TMaxPrice,
MinAge >= TMinAge.

<<the execution>>:

?-run.
Compiling the file:
D:\PROLOG\StrawberryProlog\NOTO\database.pro
0 errors, 0 warnings.
Resort Type (beach / ski / mountain) ? :
Max Price ? : Min Age ? :
We advise you to go to sonora_bay
Yes.

【例題】ESSの構築例(財務問題意思決定支援システム)